Stemningssystemer

Et stemningssystem (også kaldet et temperatur og et temperament) er en betegnelse for det system, man stemmer tonerne på et musikinstrument efter. Historisk set har man anvendt andre stemningssystemer end det nutidige, og et musikstykke har derfor ikke altid lydt, som det lyder i dag. Her gennemgås de mest udbredte stemningssystemer kronologisk.

1. Introduktion

Artiklen tager udgangspunkt i stemningssystemer, der har været anvendt i den vestlige verden, hvor tonesystemet udgøres af tolv forskellige toner. I traditionel musik fra andre dele af verden benyttes andre tonesystemer og derfor også helt andre stemningssystemer.

Stemningssystemerne er eksemplificeret med udgangspunkt i midter-c på 261,63 Hz. Det medfører, at kammertonens frekvens varierer en smule, men til gengæld er stemningssystemerne nemmere at sammenligne, fordi de har fælles udgangspunkt. Kammertonens frekvens har varieret meget over tid og sted, og derfor har det frekvensmæssige udgangspunkt ikke nødvendigvis oprindeligt været det samme som i denne artikel.

Det vides ikke, hvilke stemningssystemer mange af de klassiske komponister har benyttet sig af, men det er med al sandsynlighed nogle, der minder meget om de tidstypiske stemningssystemer præsenteret i denne artikel. Johann Sebastian Bach (1685-1750) foretrak eksempelvis at stemme sine cembaloer selv, fordi han ikke anså andres stemningssystemer for helt tilfredsstillende.

Cent

Stemningssystemerne beskrives og sammenlignes ved hjælp af måleenheden cent, der angiver afstanden mellem to toner. 100 cent tilsvarer en afstand på en nutidig halvtone, og intervallerne fra prim til oktav i nutidens stemningssystem har derfor centværdierne: 0, 100, 200, 300 … 1200.

Afstanden n i cent mellem to toner a og b i Hz er givet ved følgende logaritmiske formel:

Det er uden betydning, om a eller b er den lyseste eller dybeste tone.

Funktionen log₂(x) er en logaritmefunktion med grundtal 2. Hvis man skal udregne afstanden på en lommeregner uden indbygget log₂, kan man i stedet bruge følgende formel:

Afstanden mellem to toner på eksempelvis 300 Hz og 200 Hz er godt syv halvtoner:

Det perfekte stemningssystem findes ikke

Udgangspunktet for stemningssystemerne har altid været et ønske om at stemme især oktaverne, kvinterne og tertserne fuldstændigt rene. Disse fuldstændigt rene intervaller opstår naturligt i overtonerækken, og det er altså ikke nogle, man har opfundet eller vedtaget.

Afstanden mellem grundtonen og 1. overtone er en oktav, og da 1. overtone har dobbelt så stor frekvens som grundtonen, er oktavens frekvensforhold 2:1. Afstanden mellem 1. og 2. overtone er en kvint, og da 2. overtone har halvanden gang så stor frekvens som 1. overtone, er kvintens frekvensforhold 3:2. På samme måde kan man nå frem til tertsernes frekvensforhold:

Interval	Frekvensforhold	Fremskrivning	Cent
Oktav	2:1	2,00	1200
Kvint	3:2	1,50	701,96
Stor terts	5:4	1,25	386,31
Lille terts	6:5	1,20	315,64

Det er umuligt at stemme alle oktaver, kvinter og tertser helt rene. Hvis man eksempelvis stemmer tre store tertser op fra c, når man frem til tonen his på 1158,94 cent. I vores tonesystem skal tonen være identisk med oktaven c på 1200 cent, men den er knap en kvart tone lavere. Lignende problemer støder man ind i, hvis man forsøger at stemme kvinterne og de små tertser helt rene.

Konsekvensen er, at hvis man stemmer nogle intervaller helt rene, vil det være på bekostning af andre intervallers renhed. Stemningssystemerne er derfor konstrueret som klanglige kompromiser med hver deres karakteristika, styrker og svagheder.

Ulvekvint

Betegnelsen ulvekvint bruges flere steder i artiklen som en betegnelse for en kvint, der er meget falsk. Betegnelsen opstod allerede i den europæiske middelalder, formodentlig fordi de falske kvinter vækker mindelser om ulvehyl. Tilstedeværelsen af en eller flere meget falske kvinter er karakteristisk for mange af de tidligste stemningssystemer og en væsentlig årsag til, at man har haft behov for at udvikle nye stemningssystemer.

2. Pythagoræisk stemning

Pythagoræisk stemning er det ældste stemningssystem, man kender til. En legende forbinder tilblivelsen med den græske matematiker og filosof Pythagoras (582 - 507 f.v.t.), men der er ikke noget håndfast bevis for dette. Den ældste beskrivelse af stemningssystemet findes hos den græske matematiker Euklid (ca. 325 – 265 f.v.t.), men senere hen har også mange andre græske musikteoretikere fra den pythagoræiske skole skrevet om det. Via den romerske filosof og musikteoretiker Boëthius (480 - 524 e.v.t.) overføres den pythagoræiske stemning til den europæiske middelalder (omkring år 500). Her bruges det indtil omkring år 1500, hvor andre stemningssystemer begynder at dukke op.

Udgangspunktet for den pythagoræiske stemning er, at alle oktaver og kvinter skal være rene, dvs. stemmes med frekvensforholdet hhv. 2:1 og 3:2. I praksis stemmer man en række på 11 rene kvinter. Her er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op med c som grundtone, og alle 12 toner er således stemt:

Når man når til en tone placeret i en anden oktav end den valgte grundtone, så dividerer eller ganger man blot tonens frekvens med oktavens frekvensforhold (2:1), for at få den ned eller op i samme oktav som grundtonen. Allerede efter at have stemt 2 rene kvinter op er det nødvendigt:

Når alle tonerne i én oktav er stemt, ganges eller divideres alle frekvenserne med oktavens frekvensforhold for at stemme tonerne i de øvrige oktaver.

Imidlertid opstår der et problem ved denne stemning. Den sidst stemte tone, dvs. tonen beliggende længst til højre i rækken af rene kvinter, har nemlig ingen ren kvint. Stemmer man eksempelvis 11 rene kvinter op fra grundtonen ab, så lander man på tonen cis. Den rene kvint til tonen cis er tonen gis:

Alle 12 toner er dog allerede stemt, så derfor lader man tonen ab være dens rene kvint. I vore dage er vi vant til, at gis og as er samme tone, men i den pythagoræiske stemning er der forskel på de to toner. Faktisk er tonen gis hele 23,46 cent, næsten en kvart halvtone, større end tonen as:

Denne fejl i systemet kaldes for det pythagoræiske komma. Man kunne godt lade g# og ab være to forskellige toner på musikinstrumenterne, men det ville gøre dem meget sværere at spille på - og det vil kræve endnu flere nye toner, fordi en ren kvint op fra g# igen kræver en ny tone, som så igen kræver en ny tone, osv. Resultatet bliver derfor en ulvekvint mellem c# og ab, der er 23,46 cent, næsten en kvart halvtone for lav, og som derfor lyder meget falsk:

Ved at vælge en anden tone som udgangspunkt når man stemmer, eller ved at stemme med en anden kombination af rene kvinter op og ned, kan man flytte ulvekvintens position, men den vil altid være der et eller andet sted i systemet. Det er altså umuligt at spille helt rent i alle tonearter. I eksemplet her er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op fra grundtonen c, og ulvekvinten befinder sig således fra fis til des:

Så længe man blot undgår at spille ulvekvinten er den dog ikke noget problem, men det betyder, at man ikke kan spille i de tonearter, hvor denne kvint indgår i tonematerialet. Det er et stort problem. I musik der ikke skifter toneart så ofte, og i musik der ikke er harmonisk kompliceret, er ulvekvinten dog næppe et problem.

Et andet problem ved den pythagoræiske stemning er, at de store tertser er generelt alt for høje (otte er 21,51 cent for høje - de resterende fire er næsten rene), og de små tertser alt for lave (ni af dem er 21,51 cent for lave - de resterende tre er næsten rene), hvilket resulterer i, at selv helt almindelige klange lyder lidt falske:

Sidste problem ved den pythagoræiske stemning er, at de enkelte tonearter ikke lyder ens, fordi der er forskel på trinnenes frekvensstørrelse i de forskellige tonearter. Et musikstykke kan derfor ikke umiddelbart moduleres til en anden toneart, uden at det også ændrer klang og karakter. Det er dog også en fordel, fordi man så komponere et musikstykke til en bestemt toneart, hvorved man kan give stykket en særlig klang og karakter, alt afhængig af hvilken toneart man vælger.

Man kan variere stemningen af de enkelte toner en smule, afhængigt af om man vælger kun at stemme rene kvinter op fra grundtonen, kun rene kvinter ned, eller om man vælger en kombination. Stemmes eksempelvis 11 rene kvinter op fra tonen eb fås følgende toner:

Stemmes derimod 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op fra eb fås denne tonerække:

Tonerne eb - b - f - c - g - d - a har samme frekvens i begge stemninger, men de øvrige toners frekvens er alle forskellige med 23,46 cent (det pythagoræiske komma). Det skyldes, som vi har set ved ulvekvinten, at der er en forskel på netop 23,46 cent mellem en tone med #-fortegn og en tone med b-fortegn (fx g# og ab eller c# og db). Hvis man eksempelvis vil bestemme frekvensen fra tonen c til db, så skal man gå 5 kvinter ned (c - f - b - eb - ab - db) og 3 oktaver op. Vil man derimod bestemme frekvensen fra tonen c til c#, så skal man gå 7 kvinter op (c - g - d - a - e - h - f# - c#) og 4 oktaver ned. De giver to forskellige resultater med 23,46 cent afvigelse.

Skemaet herunder viser centværdierne for pythagoræisk stemning, hvor der fra grundtonen c er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op.

Tone	c	db	d	eb	e	f	f#	g	ab	a	b	h	c
Cent	0	90,22	203,91	294,13	407,82	498,04	611,73	701,96	792,18	905,87	996,09	1109,78	1200
Frekvens (Hz)	261,63	275,62	294,33	310,07	331,12	348,83	372,51	392,44	413,43	441,49	465,11	496,68	523,25

Læg mærke til at ifølge de helt rene frekvensforhold fra overtonerækken, så burde den store terts (tonen e) være på 386,31 cent og den lille terts (tonen eb) være på 315,64 cent. Disse to tertser afviger således med 21,51 cent hver i pythagoræisk stemning. Den er den primære grund til, at den pythagoræiske stemning ikke egner sig til flerstemmig musik - medmindre man altså holder sig væk fra tertserne. I musik der ikke skifter toneart og musik der ikke er harmonisk eventyrlysten, er ulvekvinten næppe et problem, fordi man ikke vil støde på den i den musik. Men tertserne er altså et problem.

Ulvekvinten befinder sig mellem f# og db. En ren kvint (701,96 cent) op fra f# burde give 611,73 + 701,96 = 1313,69 cent. Lægges tonen db en oktav (1200 cent) op lander man på 90,22 + 1200 = 1290,22 cent. En forskel på 23,47 cent, svarende til det pythagoræiske komma på 23,46 cent (dog med 0,01 cent afrundingsfejl).

3. Ren stemning

Omkring år 1500 begynder en ny stemning, kaldet ren stemning, at tage form. Det er den spanske matematiker og musikteoretiker Bartolomé Ramos de Pareja (ca. 1440 - 1522), der i sin traktat Musica Pratica i 1482 første gang skriver om denne stemning. Hvor man i den pythagoræiske stemning kun stemte kvinter og oktaver rent, så stemmer man i denne stemning også de store og små tertser rene, dvs. med et frekvensforhold på hhv. 5:4 og 6:5. Derved løser man problemet med de afvigende tertser i den pythagoræiske stemning.

Da det i praksis er umuligt at få alle oktaver, kvinter og tertser til at være rene, så forsøger man blot at få så mange som muligt af de vigtigste treklange omkring en given grundtone til at være rene. Det betyder, at den rene stemning fungerer godt i den givne grundtones toneart, men at alle andre tonearter lyder mere eller mindre falsk, fordi intervallerne i disse tonearter er falske. Det har derfor en stor betydning, hvilken grundtone man vælger at stemme efter i den rene stemning.

Man prøvede flere forskellige tilgangsmåder og strukturer med henblik på at stemme oktaver, kvinter og tertser helt rene, men efterhånden lagde man sig fast på følgende fremgangsmåde: Når man har valgt en grundtone at stemme efter, så stemmer man først en række af 3 opadgående rene kvinter, begyndende en ren kvint under grundtonen. Med c som grundtone giver det følgende fire toner:

Fra første tone i kvintrækken (tonen beliggende en ren kvint under grundtonen) stemmes en ren stor terts op (frekvensforhold 5:4), og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af 3 opadgående rene kvinter. Med c som grundtone giver det tonerne:

8 af de i alt 12 toner er nu stemt. Ligesom ved den pythagoræiske stemning, så dividerer eller ganger man blot en tones frekvens med oktavens frekvensforhold, hvis den er placeret i oktaven over eller under grundtonen. På den måde sørger man for, at man først stemmer alle toner placeret i én oktav.

De sidste 4 toner kan stemmes efter flere forskellige metoder. Hvilken metode man vælger afhænger af, hvilke akkorder man vil have til at være rene.
Ved første metode stemmes en ren stor terts (frekvensforhold 5:4) ned fra første tone i første kvintrække (tonen en ren kvint under grundtonen), og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af tre opadgående rene kvinter. Det kan illustreres på følgende måde:

Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: Db, Ab, Eb, F, C og G.

Ved metode 2 stemmes en ren stor terts op fra første tone i anden kvintrække, og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af tre opadgående rene kvinter. Det kan illustreres på følgende måde:

Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: F, C, G, A, E og H.

Metode 3 er en kombination af de to første, hvor man vælger at benytte to toner fra hver af de to første metoder. Det gøres ved både at stemme en stor terts op fra første tone i anden kvintrække og en stor terts ned fra tonen en kvint over grundtonen. Metoden kan illustreres på følgende måde:

Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: Eb, F, C, G, A og E.

I den rene stemning er ni af kvinterne rene ved metode 1 og 2, mens otte af kvinterne er rene ved metode 3. De resterende 3 eller 4 kvinter er ulvekvinter og alle placeret ved overgangen til en ny kvintrække. De er alle meget falske, og derfor uanvendelige i det meste musik. Ulvekvinternes position og afvigelse i cent er angivet på illustrationen over hver metode.

Ulvekvinten mellem d og a afviger eksempelvis med 21,5 cent:

Seks af de store tertser er rene ved hver metode, og da det alle gange er i sammenhæng med en ren kvint, vil man altid have 6 helt rene durakkorder i den rene stemning. De resterende 6 tertser er generelt alt for høje og de lyder ikke godt.

Til trods for de mange ulvekvinter og falske tertser, så er alle de skalaegne akkorder i grundtonens skala, undtagen 2. trinsakkorden, faktisk fuldstændigt rene. I C-dur er akkorderne C, Em, F, G, Am og Hm således fuldstændigt rene. Dm akkorden er til gengæld ikke ren, fordi dens kvint er alt for lav.

Hvis man vil have Dm treklangen ren, må man ofre bl.a F-dur treklangen ved at stemme tonen a 21,51 cent højere, men det er ikke at foretrække, da F-dur harmonisk er en vigtigere akkord end D-mol. Det kan altså ikke engang lade sig gøre at danne en diatonisk skala, hvor alle treklange er helt rene.

Alt i alt er den rene stemning rigtig god, hvis blot man holder sig til den toneart, som instrumentet er stemt i (dvs. tonearten med den grundtone der er stemt efter). Hvis man derimod spiller i en anden toneart, så begynder det dog hurtigt at gå galt. Jo færre toner en toneart har til fælles med den toneart, der er stemt efter, jo værre bliver det, men selv nært beslægtede tonearter med næsten samme tonemateriale, kan lyde falsk.

Herunder er et eksempel på en fuldstændigt ren C-dur kadence (akkordrække) i c-dur stemning. Spiller man en D-dur kadence i samme stemning, så lyder især A-dur akkorden falsk, men heller ikke D-dur akkorden er helt god. Forklaringen skyldes, at de to akkorder benytter tonemateriale (tonen c# og f#) , der ikke er med i tonearten c-dur:

Skemaet herunder viser centværdierne for ren stemning, hvor metode 1 er benyttet.

Tone	c	db	d	eb	e	f	f#	g	ab	a	b	h	c
Cent	0	111,68	203,91	315,64	386,31	498,04	590,22	701,96	813,69	884,36	1017,6	1088,27	1200
Frekvens (Hz)	261,63	279,07	294,33	313,95	327,03	348,83	367,91	392,44	418,60	436,04	470,93	490,55	523,25

4. Middeltonestemning

I starten af 1600-tallet bliver middeltonestemningen (også kaldet prætoriansk stemning) populær i Europa. Problemet har tidligere været, at man ikke både kan få tertserne og kvinterne helt rene. Enten er tertserne for store, eller også er kvinterne for små - og det er sidstnævnte (de små kvinter), der er udgangspunktet for middeltonestemningen. Det er den italienske musikteoretiker Pietro Aron (1489 - ca. 1545) der i 1523 som den første nævner dette stemningssystem. Han beskriver en generel regel, der går ud på at stemme en række af kvinter så lave, som øret kan tillade, og at man da efter fire kvinter skal tjekke, at man når frem til en terts, der er praktisk talt ren.

De første matematisk præcise beskrivelser af stemningssystemet fremkommer dog først i slutningen af 1500 tallet, først af italieneren Gioseffo Zarlino (1517 - 1590). Han beskrev den såkaldte 2/7-komma middeltonestemning i Le istitutioni harmoniche (1558), hvor kvinterne sænket med 2/7 syntonisk komma - tertserne er til gengæld 1/7 syntonisk komma for små. Zarlino noterede ingen udregninger af de strengelængder det ville kræve at opnå de 12 forskellige toner; det ville have krævet udregninger med den syvende rod af noget, og det var Zarlino ikke i stand til at udregne. Senere udgav han flere bøger uden at foretage udregningerne, og han refererede også senere (i en genudgivelse af Le istitutioni harmoniche, 1573) til såkaldt 1/3-komma middeltone.

Spanieren Francisco de Salinas (1513 - 1590) beskriver senere tre forskellige middeltonestemninger (i De musica libri septem, 1577): 1/3-komma middeltone, 2/7-komma middeltone og 1/4-komma middeltone (kvart-komma middeltone). I 1/3-komma middeltonestemningen er kvinterne sænket med en tredjedel syntonisk komma. Det betyder, at tertserne er for store, men seksterne er til gengæld helt rene. 1/4-komma middeltonestemningen blev dog den langt mest anvendte version, fordi den fokuserer på de rene tertser, og det er derfor også kun den, som vil blive beskrevet i dette afsnit. Den baserer sig ligesom den pythagoræiske stemning på en række af stemte kvinter.

I 1/4-komma middeltonestemningen stemmes alle oktaver rene (frekvensforhold 2:1), og så mange som muligt af de store tertser stemmes rene (frekvensforhold 5:4). Tertsernes renhed tilgodeses på bekostning af kvarterne og kvinterne, som så til gengæld bliver en lille smule falske. Det grundlæggende princip er at stemme otte store tertser helt rene og leve med fire falske store tertser.

Hvis man stemmer fire rene kvinter op (og to rene oktaver ned) fra en given grundtone, fx c (c - g - d - a - e), så er alle fire kvinter helt rene, men den store terts mellem c og e er 21,51 cent for høj. Det var sådan man stemte i den pythagoræiske stemning, og den 21,51 cent for høje terts har derfor fået tilnavnet pythagoræisk terts. Denne forskel på 21,51 cent mellem en pythagoræisk terts og en ren stor terts kaldes for det syntoniske komma:

Da man i middeltonestemningen gerne vil have den store terts til at være helt ren, så stemmer man de fire kvinter lidt for lave så de tilsammen giver en ren stor terts. Hver kvint sænkes lige meget, så hver af de fire kvinter sænkes med 1/4 af det syntoniske komma (deraf navnet 1/4-komma middeltone).

De 1/4-komma sænkede kvinters frekvensforhold skal nu findes, så stemningen kan udføres i praksis. Efter fire opadgående 1/4-komma sænkede kvinter rammes den rene store terts, og vi ved, at den også kan rammes ved at stemme to rene oktaver og en ren stor terts op:

Oktavernes og den rene store terts' frekvensforhold kender vi jo, så via eksemplet til højre kan vi nu finde ud af, hvilken faktor frekvensen er vokset med fra grundtonen (c) til den store terts (e) to oktaver + en stor terts over. Den kan udregnes med følgende formel:

oktavens frekvensforhold oktavens frekvensforhold den store terts frekvensforhold = (2:1) (2:1) (5:4) = 20:4 = 5

Den store terts beliggende to oktaver + en ren stor terts over grundtonen har altså en 5 gange større frekvens end grundtonen. Dermed ved vi, at efter fire opadgående 1/4-komma sænkede kvinter så skal frekvensen være femdoblet. Vi skal således finde et tal der i fjerde potens, dvs. ganget med sig selv fire gange giver 5, og det tal svarer til frekvensforholdet på hver af de fire 1/4-komma sænkede kvinter. Tallet, her kaldet k, findes vha. en potensregneregel:

k⁴ = 5 k = (= 1,4953487812212205)

De 1/4-komma sænkede kvinters frekvensforhold er dermed lig den fjerde rod af fem.

Efter at have valgt en grundtone at stemme ud fra, kan man eksempelvis stemme 3 kvinter ned og 8 kvinter op ud fra denne. Alle kvinterne stemmes i forholdet , og en tone oktaveres ned eller op med oktavens frekvensforhold på 2:1, hvis den er placeret i oktaven over eller under grundtonen. Med c som grundtone stemmes således følgende toner:

Alle akkorderne fra eb til e har fuldstændigt rene store tertser, men til gengæld er de resterende fire store tertser hele 41,06 cent for høje. De er så falske, at de er stort set uanvendelige, og det udelukker brugen af en del tonearter. Der er endvidere en alt for høj ulvekvint mellem g# og eb, som opstår fordi en række af 1/4-komma sænkede kvinter ikke kan gå op i 12 toner. Ulvekvinten er 37,63 cent for høj, og derfor meget falsk:

Bemærk at ulvekvintens position kan rykkes rundt, alt efter hvilken grundtone man vælger, og alt efter hvilken kombination af opadgående og nedadgående kvinter man vælger at stemme efter. På den måde kan man tilpasse stemningen til de tonearter, man har brug for.

Samlet set er det kun omkring halvdelen af alle tonearter, der er anvendelige i middeltonestemningen, men det er faktisk mange, når man sammenligner med de tidligere stemningssystemer. I alle tonearter med op til tre fortegn har alle tonerne i durskalaen samme relative afstande, og det betyder, at man nu for første gang kan modulere musikstykker frit rundt blandt en lang række tonearter, uden at de skifter væsentlig klang og karakter.

Fra perioden med middeltonestemning har man dog fundet flere musikstykker i bl.a. F-mol (med fire b-fortegn), hvor den lille terts er 46,46 cent, næsten en kvart tone, for lav. Det tyder på, at man ikke kun har benyttet de mest rene tonearter med op til tre fortegn, men at man også bevidst har udnyttet de forskellige klangfarver og udtryk de mere urene tonearter har haft.

Skemaet herunder viser centværdierne for 1/4-komma middeltonestemning, hvor der fra grundtonen c er stemt 3 komma-formindskede kvinter ned og 8 komma-formindskede kvinter op.

Tone	c	c#	d	eb	e	f	f#	g	g#	a	b	h	c
Cent	0	76,05	193,17	310,26	386,31	503,45	579,47	696,60	772,63	889,75	1006,85	1082,89	1200
Frekvens (Hz)	261,63	273,37	292,51	312,98	327,03	349,92	365,63	391,22	408,79	437,40	468,01	489,03	523,25

Nogle tangentinstrumenter fra 1500- og 1600-tallet er bygget med flere tangenter per oktav end 12, fordi nogle advokerede for, at det ville gøre det muligt at spille i flere brugbare tonearter. Nicola Vicentino beskrev fx et såkaldt archicembalo i 1555 med 31 toner med lige store intervaller per oktav. Han brugte det selv, og udover at det kunne spille rent i mange forskellige tonearter, fandt han det også godt, fordi det gjorde det muligt at klare de små intonationsmæssige forskelle forbundet med musikalsk praksis på en måde, som intet tangentinstrument havde mulighed for før.

Typisk havde instrumenter med flere end 12 toner per oktav dog primært opdelt en eller flere af de sorte tangenter, altså stamtonernes afledninger (cis/des, dis/es, fis/ges, gis/as ais/b) for at udvide antallet af brugbare tonearter. I praksis delte man den sorte tangent på midten, og løftede som regel den bagerste højere op en den forreste del. Derfor er det muligt at finde gamle instrumenter med et andet antal toner per oktav, ofte 14, 17 eller 19 toner. Ulempen er at klaviaturet bliver væsentligt mere uoverskueligt og svært at spille på:

Kopi af virginal (en variation af et cembalo), baseret på et virginal af Joannes Ruckers fra 1611.

Selvom andre stemningssystemer tager over i slutningen af 1600-tallet, er der beviser på, at middeltonestemningen bliver benyttet på tangentinstrumenter et godt stykke ind i 1800-tallet.

5. Veltempereret stemning

I slutningen af 1600-tallet går man over til at bruge veltempererede stemninger, fordi den harmoniske udvikling gjorde det nødvendigt at kunne modulere til flere og flere tonerarter. Veltempererede stemningssystemer adskiller sig fra de tidligere stemningssystemer, ved at de er konstrueret med henblik på at man skal kunne spille i alle forskellige tonearter. Der skyldes, at der ikke længere er nogle tonearter, der lyder meget falsk. Der er dog stadigvæk stor forskel på, hvordan de enkelte tonearter lyder.

Der er lavet flere forskellige veltempererede stemningssystemer, hvoraf nogle af de bedst kendte er lavet af den tyske komponist og musikteoretiker Johann Georg Neidhardt i Sectio canonis harmonici (1724) og Gäntzlich erschöpfende, mathematische Abtheilungen des Monochordi (1732), Georg Andreas Sorge i Anweisung zur Stimmung und Temperatur sowohl der Orgelwerke (1744), Johann Philipp Kirnberger (1721 - 1783) i Die Kunst des reinen Satzes in der musik (1771), den engelske fysiker Thomas Young (1773 - 1829) i Royal Society of Londons Philosophical Transactions (1800), den italienske komponist og musikteoretiker Francesco Vallotti (1697-1780) og den tyske organist og musikteoretiker Andreas Werckmeister (1645 - 1706) i Musicalische Temperatur (1691). Werkmeister var den første, der præsenterede præcise beskrivelser af veltempererede stemningssystemer, og hans stemningssystemer er blandt de mest anvendte.

Men både Werckmeister og flere af de andre teoretikere advokerede ikke for ét bestemt stemningssystem, men argumenterede for, at valget af stemningssystem afhang af blandt andet om musikken var beregnet transponerende instrumenter eller ej, om der blev brugt en kammertone eller en kortone, i hvor høj grad musikken var kromatisk. Hvert stemningssystem havde altså sine anvendelsesmuligheder. Og Neidhardt foreslog eksempelvis flere forskellige stemningssystemer: et til store byer, et til små byer og et til landsbyer, dvs. stemningssystemerne var tilpasset lokale kvalitetsstandarder og de tilstedeværende musikeres færdigheder. Neidhardt var hofkapelmester i Königsberg.

Werkmeister var organist, og meget af den musik han spillede krævede krydser og b'er, og derfor fungerede de tidligere stemningssystemer ikke så godt. Han konstruerede i alt fire forskellige stemningssystemer, der er navngivet Werkmeister I, II, III og IV.

Werckmeister I

Werckmeister I er baseret på rene oktaver og rene kvinter, og Werckmeister selv angav denne stemning som særligt velegnet til at spille kromatisk musik. Som vi så ved den pythagoræiske stemning, så er det dog ikke muligt at stemme alle kvinter helt rene. Hvis en række af rene kvinter skal gå op i 12 toner, så må en af kvinterne være 23,46 cent for lav, ellers går det ikke op.

Denne fejl på 23,46 cent fordeler Werckmeister ud på fire kvinter, således at disse fire kvinter hver er formindsket med 1/4 af 23,46 cent (altså 1/4 komma), svarende til 5,865 cent hver. De formindskede kvinter lyder lidt falske, men de er trods alt stadigvæk brugbare:

De fire formindskede kvinter i Werkmeister I har hver frekvensforholdet:
(= 1,49492696)

I praksis stemmes 3 kvinter ned og 8 kvinter op ud fra en given grundtone. De formindskede kvinter er placeret som 1., 2., 3. og 6. opadgående kvint, hvilket med c som grundtone svarer til kvinten mellem tonerne c-g, g-d, d-a og h-f#:

De fire formindskede kvinter er hver 5,865 cent for lave, mens resten af kvinterne er helt rene. De øvrige intervallers renhed varierer også. Den store terts mellem c og e er dog kun 3,9 cent for høj, men den store terts mellem c# og f er 21,5 cent for høj, og går man en lille terts op fra grundtonen, så er den 21,5 cent for lav. Til gengæld er der ikke længere nogen ulvekvint, så selvom nogle tonearter tydeligvis er renere end andre, så er der dog ingen, der er så falske, at de ikke kan bruges.

Skemaet herunder viser centværdierne for Werckmeister I.

Tone	c	c#	d	eb	e	f	f#	g	g#	a	b	h	c
Cent	0	90,21	192,17	294,11	390,21	498,02	588,29	696,08	792,16	888,27	996,08	1092,19	1200
Frekvens (Hz)	261,63	275,62	292,34	310,07	327,77	348,83	367,50	391,11	413,43	437,03	465,11	491,66	523,25

Werckmeister II

I Werckmeister II er kvinterne C-G, D-A, E-B, F♯-C♯ og B♭-F stemt for små med 1/3 komma, og kvinterne G♯-D♯ og E♭-B♭ stemt for store med 1/3 komma. Alle andre kvinter er fuldstændig rene. Werckmeister designede dette stemningssystem til at spille diatonisk musik (altså hvor sorte tangenter sjældent tages i brug).

Tone	c	c#	d	eb	e	f	f#	g	g#	a	b	h	c
Cent	0	82	196	294	392	498	588	694	784	890	1004	1086	1200
Frekvens (Hz)	261,63	274,38	293,01	310,07	328,14	348,83	367,50	390,67	411,57	437,52	467,22	490,00	523,25

Werckmeister III

Werckmeister III bygger på de samme principper som Werckmeister I, men denne stemning er mere jævn, og den minder derfor meget om den ligesvævende stemning. I Werckmeister III er fem kvinter formindsket med samme værdi (5,865 cent) som hver af de fire formindskede kvinter i Werckmeister I. Deres frekvensforhold er dermed ligeledes .

Som i Werckmeister I så stemmer man også i Werckmeister III 3 kvinter ned og 8 kvinter op fra grundtonen. De formindskede kvinters position er dog flyttet, og er nu ved 1. nedadgående kvint og 3., 4., 7. og 8. opadgående kvint. Med c som grundtone svarer det til kvinterne mellem tonerne f-c, d-a, a-e, f#-c# og c#-g#:

Den ekstra formindskede kvint i forhold til Werckmeister I resulterer i en kvint mellem g# og eb der er forstørret med 5,865 cent. Samme antal cent som de formindskede kvinter er formindsket med.

Der er to rene kvinter færre i Werckmeister III sammenlignet med Werckmeister I. Til gengæld er forskellen mellem tonearterne blevet mindre, hvilket giver større frihed ved modulationer og ved valg af toneart generelt. Ulvekvinter er der ingen af i denne stemning, og alle tonearter - også dem med mange fortegn - fungerer generelt godt i denne stemning.

Skemaet herunder viser centværdierne for Werckmeister III.

Tone	c	c#	d	eb	e	f	f#	g	g#	a	b	h	c
Cent	0	96,10	203,91	300,01	396,07	503,92	599,98	701,96	792,16	900,00	1001,95	1098,06	1200
Frekvens (Hz)	261,63	276,56	294,33	311,13	328,88	350,02	369,99	392,44	413,43	440,00	466,69	493,33	523,25

Bemærk at Werckmeister III minder meget om den ligesvævende stemning, som har centværdierne 0, 100, 200, 300, 400, 500 ... 1200.

Werckmeister IV

En monochord er et strengeinstrument og et videnskabeligt labratorieinstrument fra oldtiden. Pythagoras brugte det til at finde intervaller på. Werckmeister brugte det til at definere sit fjerde stemningssystem. Systemet kaldes også Septenarius. De forskellige toner er defineret af hvilken af de 196 dele af strengene, der skal placeres et bånd med henblik på at frembringe de pågældende tonehøjder. Hen beskrev Septenarius som "an additional temperament which has nothing at all to do with the divisions of the comma, nevertheless in practice so correct that one can be really satisfied with it".

6. Ligesvævende stemning

I slutningen af 1500-tallet bliver den ligesvævende stemning introduceret i Europa. Det er dog først omkring slutningen af 1700-tallet, samtidigt med at klaveret bliver et populært og udbredt musikinstrument, at det vinder indpas som det mest almindelige stemningssystem. Kirnberger havde som bekendt udarbejdet et veltempereret stemningssystem så sent som i 1771, og selvom nogle andre forfattere advokerede for det (og andre imod det), faldt populariteten i de veltempererede stemningssystemer hurtigt til fordel for den ligesvævende stemning.

Udviklingen i stemningssystemerne går hånd i hånd med musikkens udvikling, idet senromantikkens musik er væsentligt mere modulerende og kromatisk end tidligere musik, hvilket netop lader sig gøre med det nye stemningssystem.

Idéen bag stemningssystemet opstod allerede omkring 4. århundrede f.v.t., hvor den græske filosof Aristoxenus skriver om noget, der minder om en ligesvævende stemning. Senere hen har også mange andre gjort sig tanker om en ligesvævende stemning, herunder bl.a. italienerne Giovanni Maria Lanfranco (ca. 1490 - 1545) og Vincenzo Galilei (ca. 1520 - 1591). Det var dog først i 1585, at der blev fremsat en præcis matematisk formel for den ligesvævende stemning, som vi kender den i dag. Det blev gjort af den belgiske matematiker Simon Stevin (1548 - 1620), som dog - til trods for hans ellers korrekte formel - udregnede flere af værdierne forkert i De Spiegheling der singconst (skrevet omkring 1610).

Senere skrev også Marin Marsenne (1588-1648) i Harmonie universelle (1636-37) om en ligesvævende stemning, men også han udregnede værdierne (det vil sige de strengelængder det ville kræve at opnå de rette frekvenser) forkert. Gennem 1500-tallet og 1600-tallet var den ligesvævende stemning velkendt blandt teoretikere, men dens brug i praksis var formentlig meget begrænset.

I den ligesvævende stemning stemmes alle oktaver rene, mens alle 12 halvtonetrin stemmes lige store. Oktaven deles derved op i 12 lige store intervaller. Da vi ved at oktavens frekvensforhold er 2:1, så skal afstanden mellem hvert halvtone svare til et tal der i tolvte potens, dvs. ganget med sig selv 12 gange, giver 2. Tallet kalder vi her k, og det findes vha. en potensregneregel:
k¹² = 2 k = (= 1,059463094359295264561825)

Hver halvtone har dermed et frekvensforhold lig den tolvte rod af to, og man skal således gange en tones frekvens med den tolvte rod af 2 for at få frekvensen på tonen en halv tone over. Gør man det tolv gange, når man oktaven og har derved fordoblet frekvensen.

Følgende formel kan bruges til at finde frekvensen (P_n) af en hvilken som helst tone:
P_n = P_a(¹²√2)^{(n − a)}

P_n er frekvenzen (i hertz), man ønsker at finde. P_a er frekvensen fra en referencetone (eksempelvis kammertonen a: 440Hz). n og a er fortløbende numre for hver halvtone, hvor n er den frekvens man ønsker at finde, og a er referencetonen. Eksempelvis kammertonen (referencetonen) er den 49. tangent fra venstre side af klaveret, og midter c er den 40. tangent. Frekvensen af midter-c er da: P₄₀ = 440 * (¹²√2)^{(40 − 49)} ≈ 261.626 Hz

Da afstanden mellem hver halvtone er lige stor, så har valget af grundtone ingen betydning, når man stemmer. Resultatet bliver det samme. Opbygningen af den ligesvævende stemning med vilkårlig grundtone kan derfor illustreres således:

Den ligesvævende stemning har en meget stor fordel i forhold til mange af de tidligere stemningssystemer, nemlig at den tillader en at spille i en hvilken som helst toneart. Alle tonearterne lyder ens bortset fra selve tonelejet, og ingen tonearter er således specielt rene eller urene. Det gør, at man kan komponere musik i alle tonearter, og at man kan lade musikstykker modulere (skifte toneart), uden at det har betydning for renheden og karakteren af klangen.

Til gengæld er alle intervallerne undtagen oktaven stemt en lille smule falske; kvinterne er eksempelvis en lille smule for lave, mens tertserne er for høje. Al musik vi hører er således en lille smule falsk, og det er faktisk et stort indgreb i vores høremåde. I dag har vi dog for længst vænnet os til det, og først når man hører en helt ren durtreklang og derefter en ligesvævende durtreklang, vil man kunne fornemme en forskel:

Ulempen ved at tonearterne har mistet deres forskellighed er, at mange udtryksmuligheder derved er gået tabt. Førhen havde det stor betydning for et musikstykkes klang og karakter, om man komponerede stykket i eksempelvis c-dur eller c#-dur. I dag er der ikke længere forskel på tonearterne, og man kan derfor ikke i samme grad påvirke et musikstykkes udtryk ved at komponere det i en speciel toneart.

Den ligesvævende stemning kan ses som en kulmination på mange års forsøg på at nå frem til det mest optimale stemningssystem. Det er en matematisk umulighed, at få alle intervaller rene overalt i systemet, og selvom der er ulemper ved den ligesvævende stemning, så er systemet alligevel et godt kompromis, når man sammenligner med alternativerne.

Strygeinstrumenter, visse blæseinstrumenter (eksempelvis basuner) og sangere kan udligne de lidt falske intervaller ved bl.a. at intonere tertsen og kvinten i harmonier henholdsvis lidt lavere og lidt højere. Derved bliver harmonierne helt rene. Selvom kompenseringen kræver nogle meget dygtige sangere og instrumentalister, så falder den faktisk mange ret naturlig, fordi intervallerne klinger renere. Kompenseringen er dog kun mulig, hvis der ikke indgår instrumenter der ikke kan ændre tonernes stemning (eksempelvis klaverer) i orkestret. Man kan desuden efterkomme tonernes bevægelsesretning ved at spille b-afledninger en lille smule dybere end ellers, og kryds-afledninger en lille smule lysere end ellers, fordi de stræber henholdsvis nedad og opad. Musikere kan altså udnytte deres instrumenters smidighed i tonernes højde til at spille i ren stemning.

Skemaet herunder viser centværdierne for den ligesvævende stemning. Du kan finde en komplet oversigt over frekvensen af tonerne på et klaver stemt i ligesvævende stemning her.

Tone	c	c#/db	d	d#/eb	e	f	f#/gb	g	g#/ab	a	a#/b	h	c
Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200
Frekvens (Hz)	261,63	277,18	293,66	311,13	329,63	349,23	369,99	391,99	415,30	440,00	466,16	493,88	523,25

Læg mærke til at den store terts er 13,69 cent for høj og kvinten 1,96 cent for lav i forhold til de helt rene frekvensforhold fra overtonerækken.

Der findes andre typer ligesvævende stemninger, som dog kun har vundet ringe indpas. I mikrotonal musik benytter man ofte en ligesvævende stemning, hvor oktaven inddeles i 24 lige store toner (svarende til kvarttoner). Denne type stemning vil kræve 24 tangenter per oktav på klaveret. En lettere løsning er dog at benytte to klaverer stemt en kvart tone fra hinanden - pianisten kan da spille et klaver med hver hånd. Forskellige komponister herunder Charles Ives har eksperimenteret med musik til kvarttone klaverer.

Andre eksempler er en inddeling på 29 lige store toner, 31, 41, 53 og 72. Formålet er at få en så ren stor terts og kvint som muligt i samtlige tonearter. Deres kompleksitet rent instrumentalt gør dog, at de aldrig har vundet indpas. 31 blev anbefalet af Christiaan Huygens og Adriaan Fokker - det har lidt mindre nøjagtige kvinter end 12, men har næsten fuldstændig rene store tertser. 72 svarer til en opdeling af hver halvtone fra alm. ligesvævende stemning i 6. En række komponister har anvendt dette system, bl.a. Alois Hába, Julián Carrillo, Ivan Wyschnegradsky og Iannis Xenakis.

7. Sammenligning

I dette afsnit er de forskellige stemningssystemers centværdier og frekvensværdier sat op over for hinanden. Der gives endvidere en række lydeksempler på de forskellige stemningssystemer, så du kan høre forskellen mellem dem. Alle frekvensværdier og lydeksempler er givet ud fra en stemning med c som grundtone med c fastsat til 261,63 Hz, svarende til nutidens enstregede c (nøglehuls c'et).

Da alle stemningssystemerne undtagen det ligesvævende kan varieres afhængigt af, hvilken metode man stemmer efter, så er sammenligningen begrænset til følgende versioner:
- den pythagoræiske stemning er stemt med 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op
- den rene stemning er stemt efter metode 1 (tre firtonige kvintrækker startende fra tonerne db, f og a)
- middeltonestemningen er kvart-komma middeltone stemt med 3 rene kvinter ned og 8 rene kvinter op
- den veltempererede stemning er af typen Werkmeister I

Musikken og dens form har ændret sig dramatisk gennem tiden; fra homofonisk melodi, til tonal treklangs-harmoni, til modulerende og udvidet tonalitet, til et brud med ​​tonalitet helt. De ledsagende stemningssystemer har ændret sig i takt med ​​denne udvikling i selve musikken. Den pythagoræiske stemning var god til overvejende melodisk musik, mens ren stemning var udviklet til at støtte treklangs-harmoni. Middeltonestemning og veltempereret stemning aktiverede komponister til at modulere og forlænge harmonier. Ligesvævende stemning gjorde det muligt at nå til kromatik og atonal eller seriel musik.

Intervallerne angivet i skemaet herunder passer ikke helt til alle stemningssystemerne, da der i flere af stemningssystemerne som bekendt er forskel på eksempelvis en lille sekund (c-db) og en forstørret prim (c-c#). De korrekte intervaller (tonenavne) er angivet i skemaet i det afsnit, der beskriver det enkelte stemningssystem.

Halvtone	Interval	Ligesvævende		Veltempereret		Middeltone		Ren		Pythagoræisk
		Cent	Frekvens	Cent	Frekvens	Cent	Frekvens	Cent	Frekvens	Cent	Frekvens
0	Prim	0	261,63	0	261,63	0	261,63	0	261,63	0	261,63
1	Lille sekund	100	277,18	90,21	275,62	76,05	273,37	111,68	279,07	90,22	275,62
2	Stor sekund	200	293,66	192,17	292,34	193,17	292,51	203,91	294,33	203,91	294,33
3	Lille terts	300	311,13	294,11	310,07	310,26	312,98	315,64	313,95	294,11	310,07
4	Stor terts	400	329,63	390,21	327,77	386,31	327,03	386,31	327,03	407,82	331,12
5	Ren kvart	500	349,23	498,02	348,83	503,45	349,92	498,02	348,83	498,02	348,83
6	Tritonus	600	369,99	588,29	367,50	579,47	365,63	590,22	367,91	611,73	372,51
7	Ren kvint	700	391,99	696,08	391,11	696,60	391,22	701,96	392,44	701,96	392,44
8	Lille sekst	800	415,30	792,16	413,43	772,63	408,79	813,69	418,60	792,18	413,43
9	Stor sekst	900	440,00	888,27	437,03	889,75	437,40	884,36	434,04	905,87	441,49
10	Lille septim	1000	466,16	996,08	465,11	1006,85	468,01	1017,6	470,93	996,08	465,11
11	Stor septim	1100	493,88	1092,19	491,66	1082,89	489,03	1088,27	490,55	1109,78	496,68
12	Oktav	1200	523,25	1200	523,25	1200	523,25	1200	523,25	1200	523,25

Her kommer snart en middel udgave af artiklen.