| Stemningssystemer |
 |
| Skrevet af Lasse Grubbe, www.musikipedia.dk | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Et stemningssystem (også kaldet et temperament, et temperatur eller en stemning) er en betegnelse for det system, som tonerne på et musikinstrument stemmes efter. Historisk set er der opfundet mange forskellige stemningssystemer, men det er kun en meget lille del af dem, der har været anvendt i stor praksis. I dag benyttes stort set kun den ligesvævende stemning. l denne artikel gennemgås en række af de mest betydningsfulde stemningssystemer kronologisk med de ældste først. De er vigtige at kende til, fordi de er med til at give en større viden om det stemningssystem, vi benytter i dag, og fordi deres indbyrdes forskelligheder har betydet, at et musikstykke lød anderledes før i tiden, end det gør i dag, hvor vi spiller i den ligesvævende stemning. Der gennemgås kun stemningssystemer, der har været anvendt i det vestlige tolvtonesystem, hvor oktaven inddeles i tolv forskellige halvtoner. I andre dele af verden benyttes andre tonesystemer (i de fleste mellemøstlige lande inddeles oktaven fx i flere end 12 toner), og hertil anvendes helt andre stemningssystemer. Indhold
1. Introduktion Første overtone har dobbelt så mange svingninger per sekund som grundtonen, dvs. en dobbelt så stor frekvens målt i Hertz. Anden overtone har tre gange så stor frekvens, tredje overtone fire gange så stor frekvens, osv. Her er de fem første overtoner til tonen c opskrevet:  Overtonerne danner forskellige intervaller, hvis man ser dem i forhold til hinanden, og allerede i oldtidens Grækenland udregnede man frekvensforholdet, dvs. forskellen i antallet af svingninger per sekund, mellem disse. Afstanden mellem grundtonen og 1. overtone er på en oktav, og da 1. overtone har dobbelt så stor frekvens som grundtonen, så siges oktavens frekvensforhold at være 2:1. Afstanden mellem 1. og 2. overtone er på en ren kvint, og da 1. overtone har dobbelt så stor frekvens som grundtonen, og 2. overtone tre gange så stor frekvens som grundtonen, så er kvintens frekvensforhold 3:2. Man skal altså gange en given tones frekvens med 3:2 (= 1,5) for at få kvintens frekvens. Samme fremgangsmåde bruges til at udregne frekvensforholdet på de øvrige intervaller i overtonerækken. De fem første intervallers frekvensforhold fremgår af skemaet herunder.
Overtonerne er et naturligt fysisk fænomen, og deres frekvensforhold er derfor fuldstændigt rene. Man har derfor altid tilstræbt at stemme musikinstrumenter efter samme frekvensforhold, som man finder i overtonerækken. Det giver dog, som vi skal se ved de forskellige stemningssystemer, en række problemer, fordi det ikke er muligt at stemme alle intervallerne helt rene, hvis man samtidigt skal få det til at gå op i 12 forskellige toner. Overtonerækken indeholder flere intervaller end de fem nævnt i skemaet herover, men de har ikke haft særligt stor betydning for de forskellige stemningssystemer, fordi oktaven, kvinten og de to tertser har været regnet for de vigtigste intervaller at stemme efter. Kammertonen For overskuelighedens skyld er alle frekvenseksempler i denne artikel givet med udgangspunkt i et c på 261,63 Hz, svarende til frekvensen på nutidens enstregede c (nøglehuls c'et). Det betyder, at frekvensen på kammertonen varierer lidt i de forskellige stemningssystemer, men til gengæld bliver de nemmere at sammenligne, fordi de alle har samme udgangspunkt. Ulvekvint Cents 0, 100, 200, 300, 400, 500 … 1200 Grundtonen har således centværdien 0, mens oktaven har centværdien 1200. Det passer også med, at der går 12 halvtoner på en oktav, og at 12 gange 100 cents er lig 1200 cents. Afstanden n i cents mellem to toner a og b givet i hertz, kan findes med følgende logaritmiske formel:  Funktionen log2(x) er en logaritmefunktion med grundtal 2. Skal man udregne værdierne på en lommeregner uden indbygget log2, kan man i stedet bruge formlen:  Cents afstanden mellem to toner på hhv. 300 Hz og 200 Hz er således:  Hvilket svarer til godt 7 halvtoner. 2. Pythagoræisk stemning Den pythagoræiske stemning tager udgangspunkt i, at alle oktaver og kvinter skal være rene, dvs. stemmes med frekvensforholdet hhv. 2:1 og 3:2. I praksis udvælger man én tone som grundtone og stemmer så 11 rene kvinter op eller ned ud fra denne. Her er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op med c som grundtone, og alle 12 toner er således stemt:  Når man når til en tone placeret i en anden oktav end den valgte grundtone, så dividerer eller ganger man blot tonens frekvens med oktavens frekvensforhold (2:1), for at få den ned eller op i samme oktav som grundtonen. Allerede efter at have stemt 2 rene kvinter op er det nødvendigt:  Når alle tonerne i én oktav er stemt, ganges eller divideres alle frekvenserne med oktavens frekvensforhold for at stemme tonerne i de øvrige oktaver. Imidlertid opstår der et problem ved denne stemning. Den sidst stemte tone, dvs. tonen beliggende længst til højre i rækken af rene kvinter, har nemlig ingen ren kvint. Stemmer man eksempelvis 11 rene kvinter op fra grundtonen ab, så lander man på tonen c#. Den rene kvint til tonen c# er tonen g#:  Alle 12 toner er dog allerede stemt, så derfor lader man tonen ab være dens rene kvint. I vore dage er vi vant til, at gis og ab er samme tone, men i den pythagoræiske stemning er der forskel på de to toner. Faktisk er tonen g# hele 23,46 cents, næsten en kvart halvtone, større end tonen ab: 
 Denne fejl i systemet kaldes for det pythagoræiske komma. Man kunne godt lade g# og ab være to forskellige toner på musikinstrumenterne, men det ville gøre dem meget sværere at spille på - og det vil kræve endnu flere nye toner, fordi en ren kvint op fra g# igen kræver en ny tone, som så igen kræver en ny tone, osv. Resultatet bliver derfor en ulvekvint mellem c# og ab, der er 23,46 cents, næsten en kvart halvtone for lav, og som derfor lyder meget falsk: 
Ved at vælge en anden tone som udgangspunkt når man stemmer, eller ved at stemme med en anden kombination af rene kvinter op og ned, kan man flytte ulvekvintens position, men den vil altid være der et eller andet sted i systemet. I eksemplet her er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op fra grundtonen c, og ulvekvinten befinder sig således fra f# til db:  Så længe man blot undgår at spille ulvekvinten er den dog ikke noget problem, men det betyder, at man ikke kan spille i de tonearter, hvor denne kvint indgår i tonematerialet. Det er et stort problem. Et andet stort problem ved den pythagoræiske stemning er, at de store tertser er generelt alt for høje (de fleste 21,51 cents for høje), og de små tertser alt for lave (de fleste 21,51 cents for lave), hvilket resulterer i, at selv helt almindelige klange lyder lidt falske: 
Sidste problem ved den pythagoræiske stemning er, at de enkelte tonearter ikke lyder ens, fordi der er forskel på trinnenes frekvensstørrelse i de forskellige tonearter. Et musikstykke kan derfor ikke umiddelbart moduleres til en anden toneart, uden at det også ændrer klang og karakter. Det er dog også en fordel, fordi man så komponere et musikstykke til en bestemt toneart, hvorved man kan give stykket en særlig klang og karakter, alt afhængig af hvilken toneart man vælger. Man kan variere stemningen af de enkelte toner en smule, afhængigt af om man vælger kun at stemme rene kvinter op fra grundtonen, kun rene kvinter ned, eller om man vælger en kombination. Stemmes eksempelvis 11 rene kvinter op fra tonen eb fås følgende toner:  Stemmes derimod 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op fra eb fås denne tonerække:  Tonerne eb - b - f - c - g - d - a har samme frekvens i begge stemninger, men de øvrige toners frekvens er alle forskellige med 23,46 cents (det pythagoræiske komma). Det skyldes, som vi har set ved ulvekvinten, at der er en forskel på netop 23,46 cents mellem en tone med #-fortegn og en tone med b-fortegn (fx g# og ab eller c# og db). Hvis man eksempelvis vil bestemme frekvensen fra tonen c til db, så skal man gå 5 kvinter ned (c - f - b - eb - ab - db) og 3 oktaver op. Vil man derimod bestemme frekvensen fra tonen c til c#, så skal man gå 7 kvinter op (c - g - d - a - e - h - f# - c#) og 4 oktaver ned. De giver to forskellige resultater med 23,46 cents afvigelse. Skemaet herunder viser centværdierne for pythagoræisk stemning, hvor der fra grundtonen c er stemt 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op.
Læg mærke til at ifølge de helt rene frekvensforhold fra overtonerækken, så burde den store terts (tonen e) være på 386,31 cents og den lille terts (tonen eb) være på 315,64 cents. Disse to tertser afviger således med 21,51 cents hver i pythagoræisk stemning. Ulvekvinten befinder sig mellem f# og db. En ren kvint (701,96 cents) op fra f# burde give 611,73 + 701,96 = 1313,69 cents. Lægges tonen db en oktav (1200 cents) op lander man på 90,22 + 1200 = 1290,22 cents. En forskel på 23,47 cents, svarende til det pythagoræiske komma på 23,46 cents (dog med 0,01 cent afrundingsfejl). 3. Ren stemning Da det i praksis er umuligt at få alle oktaver, kvinter og tertser til at være rene, så forsøger man blot at få så mange som muligt af de vigtigste treklange omkring en given grundtone til at være rene. Det betyder, at den rene stemning fungerer godt i den givne grundtones toneart, men at alle andre tonearter lyder mere eller mindre falsk, fordi intervallerne i disse tonearter er falske. Det har derfor en stor betydning, hvilken grundtone man vælger at stemme efter i den rene stemning. Når man har valgt en grundtone at stemme efter, så stemmer man først en række af 3 opadgående rene kvinter, begyndende en ren kvint under grundtonen. Med c som grundtone giver det følgende fire toner:  Fra første tone i kvintrækken (tonen beliggende en ren kvint under grundtonen) stemmes en ren stor terts op (frekvensforhold 5:4), og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af 3 opadgående rene kvinter. Med c som grundtone giver det tonerne:  8 af de i alt 12 toner er nu stemt. Ligesom ved den pythagoræiske stemning, så dividerer eller ganger man blot en tones frekvens med oktavens frekvensforhold, hvis den er placeret i oktaven over eller under grundtonen. På den måde sørger man for, at man først stemmer alle toner placeret i én oktav. De sidste 4 toner kan stemmes efter flere forskellige metoder. Hvilken metode man vælger afhænger af, hvilke akkorder man vil have til at være rene. Ved første metode stemmes en ren stor terts (frekvensforhold 5:4) ned fra første tone i første kvintrække (tonen en ren kvint under grundtonen), og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af tre opadgående rene kvinter. Det kan illustreres på følgende måde:  Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: Db, Ab, Eb, F, C og G. Ved metode 2 stemmes en ren stor terts op fra første tone i anden kvintrække, og den nye tone danner nu udgangspunkt for en ny række af tre opadgående rene kvinter. Det kan illustreres på følgende måde:  Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: F, C, G, A, E og H. Metode 3 er en kombination af de to første, hvor man vælger at benytte to toner fra hver af de to første metoder. Det gøres ved både at stemme en stor terts op fra første tone i anden kvintrække og en stor terts ned fra tonen en kvint over grundtonen. Metoden kan illustreres på følgende måde:  Følgende durakkorder er fuldstændigt rene ved denne metode: Eb, F, C, G, A og E. I den rene stemning er ni af kvinterne rene ved metode 1 og 2, mens otte af kvinterne er rene ved metode 3. De resterende 3 eller 4 kvinter er ulvekvinter og alle placeret ved overgangen til en ny kvintrække. De er alle meget falske, og derfor uanvendelige i det meste musik. Ulvekvinternes position og afvigelse i cents er angivet på illustrationen over hver metode. Ulvekvinten mellem d og a afviger eksempelvis med 21,5 cents: 
Seks af de store tertser er rene ved hver metode, og da det alle gange er i sammenhæng med en ren kvint, vil man altid have 6 helt rene durakkorder i den rene stemning. De resterende 6 tertser er generelt alt for høje og de lyder ikke godt. Til trods for de mange ulvekvinter og falske tertser, så er alle de skalaegne akkorder i grundtonens skala, undtagen 2. trinsakkorden, faktisk fuldstændigt rene. I C-dur er akkorderne C, Em, F, G, Am og Hm således fuldstændigt rene. Dm akkorden er til gengæld ikke ren, fordi dens kvint er alt for lav. 
Hvis man vil have Dm treklangen ren, må man ofre bl.a F-dur treklangen ved at stemme tonen a 21,51 cents højere, men det er ikke at foretrække, da F-dur harmonisk er en vigtigere akkord end D-mol. Det kan altså ikke engang lade sig gøre at danne en diatonisk skala, hvor alle treklange er helt rene. Alt i alt er den rene stemning rigtig god, hvis blot man holder sig til den toneart, som instrumentet er stemt i (dvs. tonearten med den grundtone der er stemt efter). Hvis man derimod spiller i en anden toneart, så begynder det dog hurtigt at gå galt. Jo færre toner en toneart har til fælles med den toneart, der er stemt efter, jo værre bliver det, men selv nært beslægtede tonearter med næsten samme tonemateriale, kan lyde falsk. Herunder er et eksempel på en fuldstændigt ren C-dur kadence (akkordrække) i c-dur stemning. Spiller man en D-dur kadence i samme stemning, så lyder især A-dur akkorden falsk, men heller ikke D-dur akkorden er helt god. Forklaringen skyldes, at de to akkorder benytter tonemateriale (tonen c# og f#) , der ikke er med i tonearten c-dur: 
Skemaet herunder viser centværdierne for ren stemning, hvor metode 1 er benyttet.
4. Middeltonestemning (prætoriansk stemning) Der findes mange forskellige versioner af middeltonestemningen, bl.a. 1/5-komma middeltone, 1/4-komma middeltone (udtales kvart-komma middeltone), 1/3-komma middeltone og 2/7-komma middeltone. 1/4-komma middeltonestemningen er dog den langt mest anvendte version, og det er derfor også kun den, som vil blive beskrevet i dette afsnit. I 1/4-komma middeltonestemningen stemmes alle oktaver rene (frekvensforhold 2:1), og så mange som muligt af de store tertser stemmes rene (frekvensforhold 5:4). Tertsernes renhed tilgodeses på bekostning af kvarterne og kvinterne, som så til gengæld bliver en lille smule falske. Hvis man stemmer fire rene kvinter op (og to rene oktaver ned) fra en given grundtone, fx c (c - g - d - a - e), så er alle fire kvinter helt rene, men den store terts mellem c og e er 21,51 cents for høj. Det var sådan man stemte i den pythagoræiske stemning, og den 21,51 cents for høje terts har derfor fået tilnavnet pythagoræisk terts. Denne forskel på 21,51 cents mellem en pythagoræisk terts og en ren stor terts kaldes for det syntoniske komma: 
Da man i middeltonestemningen gerne vil have den store terts til at være helt ren, så stemmer man de fire kvinter lidt for lave så de tilsammen giver en ren stor terts. Hver kvint sænkes lige meget, så hver af de fire kvinter sænkes med 1/4 af det syntoniske komma (deraf navnet 1/4-komma middeltone). De 1/4-komma sænkede kvinters frekvensforhold skal nu findes, så stemningen kan udføres i praksis. Efter fire opadgående 1/4-komma sænkede kvinter rammes den rene store terts, og vi ved, at den også kan rammes ved at stemme to rene oktaver og en ren stor terts op:  Oktavernes og den rene store terts' frekvensforhold kender vi jo, så via eksemplet til højre kan vi nu finde ud af, hvilken faktor frekvensen er vokset med fra grundtonen (c) til den store terts (e) to oktaver + en stor terts over. Den kan udregnes med følgende formel: oktavens frekvensforhold  oktavens frekvensforhold den store terts frekvensforhold = (2:1) (2:1) (5:4) = 20:4 = 5Den store terts beliggende to oktaver + en ren stor terts over grundtonen har altså en 5 gange større frekvens end grundtonen. Dermed ved vi, at efter fire opadgående 1/4-komma sænkede kvinter så skal frekvensen være femdoblet. Vi skal således finde et tal der i fjerde potens, dvs ganget med sig selv fire, gange giver 5, og det tal svarer til frekvensforholdet på hver af de fire 1/4-komma sænkede kvinter. Tallet, her kaldet k, findes vha. en potensregneregel: k4 = 5  k =  (= 1,4953487812212205)De 1/4-komma sænkede kvinters frekvensforhold er dermed lig den fjerde rod af fem. Efter at have valgt en grundtone at stemme ud fra, stemmes typisk 3 kvinter ned og 8 kvinter op ud fra denne. Alle kvinterne stemmes i forholdet , og en tone oktaveres ned eller op med oktavens frekvensforhold på 2:1, hvis den er placeret i oktaven over eller under grundtonen. Med c som grundtone stemmes således følgende toner: Alle akkorderne fra eb til e har fuldstændigt rene store tertser, men til gengæld er de resterende fire store tertser hele 41,06 cents for høje. De er så falske, at de er stort set uanvendelige, og det udelukker brugen af en del tonearter. Der er endvidere en alt for høj ulvekvint mellem g# og eb, som opstår fordi en række af 1/4-komma sænkede kvinter ikke kan gå op i 12 toner. Ulvekvinten er 37,63 cents for høj, og derfor meget falsk: 
Bemærk at ulvekvintens position kan rykkes rundt, alt efter hvilken grundtone man vælger, og alt efter hvilken kombination af opadgående og nedadgående kvinter man vælger at stemme efter. Samlet set er det kun omkring halvdelen af alle tonearter, der er anvendelige i middeltonestemningen, men det er faktisk mange, når man sammenligner med de tidligere stemningssystemer. I alle tonearter med op til tre fortegn har alle tonerne i durskalaen samme relative afstande, og det betyder, at man nu for første gang kan modulere musikstykker frit rundt blandt en lang række tonearter, uden at de skifter væsentlig klang og karakter. Fra perioden med middeltonestemning har man dog fundet flere musikstykker i bl.a. F-mol (med fire b-fortegn), hvor den lille terts er 46,46 cents, næsten en kvart tone, for lav. Det tyder på, at man ikke kun har benyttet de mest rene tonearter med op til tre fortegn, men at man også bevidst har udnyttet de forskellige klangfarver og udtryk de mere urene tonearter har haft. Skemaet herunder viser centværdierne for 1/4-komma middeltone stemning, hvor der fra grundtonen c er stemt 3 komma-formindskede kvinter ned og 8 komma-formindskede kvinter op.
Veltempereret stemning Der er lavet flere forskellige veltempererede stemningssystemer, hvoraf nogle af de bedst kendte er lavet af tyskeren Johann Philipp Kirnberger (1721 - 1783), englænderen Thomas Young (1773 - 1829) og den tyske organist og musikteoretiker Andreas Werckmeister (1645 - 1706). Werkmeisters stemningssystemer er blandt de mest anvendte. Han konstruerede i alt fire forskellige stemningssystemer, der lidt forvirrende både er blevet navngivet Werkmeister I, II, III og IV og Werckmeister III, IV, V og VI. I dette afsnit gennemgås blot Werckmeister I (III) og Werckmeister III (V), begge fra 1681. Werckmeister I (III) Werckmeister I er baseret på rene oktaver og rene kvinter, og ifølge Werckmeister selv er denne stemning særligt velegnet til at spille kromatisk musik. Som vi så ved den pythagoræiske stemning, så er det dog ikke muligt at stemme alle kvinter helt rene. Hvis en række af rene kvinter skal gå op i 12 toner, så må en af kvinterne være 23,46 cents for lav, ellers går det ikke op. Denne fejl på 23,46 cents fordeler Werckmeister ud på fire kvinter, således at disse fire kvinter hver er formindsket med 1/4 af 23,46 cents, svarende til 5,865 cents hver. De formindskede kvinter lyder lidt falske, men de er trods alt stadigvæk brugbare: 
De fire formindskede kvinter i Werkmeister I har hver frekvensforholdet:  (= 1,49492696)I praksis stemmes 3 kvinter ned og 8 kvinter op ud fra en given grundtone. De formindskede kvinter er placeret som 1., 2., 3. og 6. opadgående kvint, hvilket med c som grundtone svarer til kvinten mellem tonerne c-g, g-d, d-a og h-f#:  De fire formindskede kvinter er hver 5,865 cents for lave, mens resten af kvinterne er helt rene. De øvrige intervallers renhed varierer også. Den store terts mellem c og e er eksempelvis 3,9 cents for høj, den store terts mellem c# og f er 21,5 cents for høj, og går man en lille terts op fra grundtonen, så er den 21,5 cents for lav. Til gengæld er der ikke længere nogen ulvekvint, så selvom nogle tonearter tydeligvis er renere end andre, så er der dog ingen, der er så falske, at de ikke kan bruges. Skemaet herunder viser centværdierne for Werckmeister I.
Werckmeister III (V) Werckmeister III bygger på de samme principper som Werckmeister I, men denne stemning er mere jævn, og den minder derfor meget om den ligesvævende stemning. I Werckmeister III er fem kvinter formindsket med samme værdi (5,865 cents) som hver af de fire formindskede kvinter i Werckmeister I. Deres frekvensforhold er dermed ligeledes .Som i Werckmeister I så stemmer man også i Werckmeister III 3 kvinter ned og 8 kvinter op fra grundtonen. De formindskede kvinters position er dog flyttet, og er nu ved 1. nedadgående kvint og 3., 4., 7. og 8. opadgående kvint. Med c som grundtone svarer det til kvinterne mellem tonerne f-c, d-a, a-e, f#-c# og c#-g#:  Den ekstra formindskede kvint i forhold til Werckmeister I resulterer i en kvint mellem g# og eb der er forstørret med 5,865 cents. Samme antal cents som de formindskede kvinter er formindsket med. Der er to rene kvinter færre i Werckmeister III sammenlignet med Werckmeister I. Til gengæld er forskellen mellem tonearterne blevet mindre, hvilket giver større frihed ved modulationer og ved valg af toneart generelt. Ulvekvinter er der ingen af i denne stemning, og alle tonearter - også dem med mange fortegn - fungerer generelt godt i denne stemning. Skemaet herunder viser centværdierne for Werckmeister III.
Bemærk at Werckmeister III minder meget om den ligesvævende stemning, som har centværdierne 0, 100, 200, 300, 400, 500 ... 1200. 6. Ligesvævende stemning Idéen bag stemningssystemet opstod allerede omkring 4. århundrede f.Kr., hvor den græske filosof Aristoxenus skriver om noget, der minder om en ligesvævende stemning. Senere hen har også mange andre gjort sig tanker om en ligesvævende stemning, herunder bl.a. italienerne Giovanni Maria Lanfranco (ca. 1490 - 1545) og Vincenzo Galilei (ca. 1520 - 1591). Det var dog først i 1585, at der blev fremsat en præcis matematisk formel for den ligesvævende stemning, som vi kender den i dag. Det blev gjort af den belgiske matematiker Simon Stevin (1548/49 - 1620), som dog - til trods for hans ellers korrekte formel - udregnede flere af værdierne forkert. I den ligesvævende stemning stemmes alle oktaver rene, mens alle 12 halvtonetrin stemmes lige store. Oktaven deles derved op i 12 lige store intervaller. De vi ved at oktavens frekvensforhold er 2:1, så skal afstanden mellem hvert halvtone svare til et tal der i tolvte potens, dvs. ganget med sig selv 12 gange giver 2. Tallet kalder vi her k, og det findes vha. en potensregneregel: k12 = 2 k =  (= 1,059463094359295264561825)Hver halvtone har dermed et frekvensforhold lig den tolvte rod af to, og man skal således gange en tones frekvens med den tolvte rod af 2 for at få frekvensen på tonen en halv tone over. Gør man det tolv gange, når man oktaven og har derved fordoblet frekvensen. Da afstanden mellem hver halvtone er lige stor, så har valget af grundtone ingen betydning, når man stemmer. Resultatet bliver det samme. Opbygningen af den ligesvævende stemning med vilkårlig grundtone kan derfor illustreres således:  Den ligesvævende stemning har en meget stor fordel i forhold til mange af de tidligere stemningssystemer, nemlig at den tillader en at spille i en hvilken som helst toneart. Alle tonearterne lyder ens bortset fra tonelejet, og ingen tonearter er således specielt rene eller urene. Det gør, at man kan komponere musik i alle tonearter, og at man kan lade musikstykker modulere (skifte toneart), uden at det har betydning for renheden og karakteren af klangen. Til gengæld er alle intervallerne undtagen oktaven stemt en lille smule falske; kvinterne er eksempelvis lidt for lave, mens tertserne er lidt for høje. Al musik vi hører er således en lille smule falsk, og det er faktisk et stort indgreb i vores høremåde. I dag har vi dog for længst vænnet os til det, og først når man hører en helt ren durtreklang og derefter en ligesvævende durtreklang, vil man kunne fornemme en forskel: 
Ulempen ved at tonearterne har mistet deres forskellighed er, at mange udtryksmuligheder derved er gået tabt. Førhen havde det stor betydning for et musikstykkes klang og karakter, om man komponerede stykket i eksempelvis c-dur eller c#-dur. I dag er der ikke længere forskel på tonearterne, og man kan derfor ikke i samme grad påvirke et musikstykkes udtryk ved at komponere det i en speciel toneart. Den ligesvævende stemning kan ses som en kulmination på mange års forsøg på at nå frem til det mest optimale stemningssystem. Det er en matematisk umulighed, at få alle intervaller rene overalt i systemet, og selvom der er ulemper ved den ligesvævende stemning, så er systemet alligevel et godt kompromis, når man sammenligner med alternativerne. Skemaet herunder viser centværdierne for den ligesvævende stemning. Du kan finde en komplet oversigt over frekvensen af tonerne på et klaver stemt i ligesvævende stemning her.
Læg mærke til at den store terts og kvinten er hhv. 13,69 cents og 1,96 cents for lave i forhold til de helt rene frekvensforhold fra overtonerækken. 7. Sammenligning Da alle stemningssystemerne undtagen det ligesvævende kan varieres afhængigt af, hvilken metode man stemmer efter, så er sammenligningen begrænset til følgende versioner: - den pythagoræiske stemning er stemt med 5 rene kvinter ned og 6 rene kvinter op - den rene stemning er stemt efter metode 1 (tre firtonige kvintrækker startende fra tonerne db, f og a) - middeltonestemningen er kvart-komma middeltone stemt med 3 rene kvinter ned og 8 rene kvinter op - som veltempereret stemning er udvalgt Werkmeister I Intervallerne angivet i skemaet herunder passer ikke helt til alle stemningssystemerne, da der i flere af stemningssystemerne som bekendt er forskel på eksempelvis en lille sekund (c-db) og en forstørret prim (c-c#). De korrekte intervaller (tonenavne) er angivet i skemaet i det afsnit, der beskriver det enkelte stemningssystem.
Herunder er givet en række lydeksempler på de forskellige stemningssystemer. Akkordrækken er for alle stemningssystemernes vedkomne en diatonisk akkordrække i c, dvs. akkorderne C-Dm-Em-F-G-Am-Hdim-C. Kadencerne er alle tonale kadencer, dvs. akkorderne C-F-G-C i c-dur, D-G-A-D i d-dur og C#-F#-G#-C# i c#-dur. I den pythagoræiske og den rene stemning er kadencen i c# faktisk en kadence i db, da der ikke er stemt noget c# i de valgte versioner af disse to stemningssystemer. Prøv at sammenligne klangen blandt de forskellige stemningssystemer, og læg også mærke til forskellen i klangen, afhængigt af om man spiller i c-dur, d-dur eller c#-dur inden for det enkelte stemningssystem. Især c#-dur er falsk i mange af stemningssystemerne.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
