Udvidede analytiske begreber til beskrivelse og analyse af dodekafoni. Dette kapitel kan eventuelt springes over, uden at det går ud over forståelsen af de øvrige kapitler og analyser.


1. Hexachordisk kombinatorik
En sekstonegruppe kaldes med et græsk ord et hexachord, og h1 og h2 kan således bruges til at betegne en rækkes første og andet hexachord, altså en rækkes første og sidste seks toner. Når et hexachord (h1 eller h2) fra to forskellige rækker kombineres, så de danner et aggregat, er der tale om hexachordisk kombinatorik.

I størsteparten af Arnold Schönbergs dodekafone værker er rækkerne udformet således, at inversionen transponeret en kvart op (I-5) hexachordvis danner aggregater med P-0. Dvs. at I-5's h1 og h2 indeholder præcis de toner, der mangler i P-0's henholdsvis h1 og h2. Ikke så rækkefølgen af tonerne i første hexachord af I-5 er identisk med rækkefølgen i andet hexachord af P-0. Det er blot de seks samme tonehøjder, der i en anden rækkefølge er til stede.

Man kan også hos Schönberg finde andre transpositioner af I, der har samme effekt, eksempelvis i Variations for Orchestra (Op. 31, 1926-28). Værkets modus quaternion ser således ud:
Modus quaternion
Tone 1-6 i hver række udgør rækkens første hexachord (h1), og tone 7-12 udgør rækkens andet hexachord (h2). Lægger man i ovenstående eksempel P-0 og I-9 over hinanden, supplerer de to rækker hinanden således, at den samlede mængde af de to rækkers h1 eller h2 giver alle de kromatiske tolv toner - de danner altså et aggregat. Det samme gør sig gældende for R-0 og RI-9. I den ovenstående modus quaternion optræder der således otte forskellige tolvtonefelter; fire rækker og fire aggregater.

P-0 rækken og I-9 rækken kombineres hexachordisk i "Tema"-satsen fra Variations for Orchestra. Celloen gennemspiller i eksemplet herunder P-0, mens akkompagnementet gennemspiller I-9. I-rækken er transponeret en stor sekst op og danner i denne transposition den ønskede hexachordiske kombinatorik med primær-rækken:
Variations for Orchestra, takt 34-38. Haxachordisk kombinatorik.

2. Segmentering
Ved segmentering forstås en inddeling af rækketonerne i grupper, der hver udgør en enhed, som ikke nødvendigvis følger en fast rytme, men kun er karakteriseret af de tonehøjder, der indgår i gruppen. Gruppernes toner er oftest fortløbende (eksempelvis 4-5-6-7), men de kan også være spredte (eksempelvis 1-4-7-8).

I Schönbergs String Quartet No. 3 (Op. 30, 1927) ses en opdeling af rækketonerne i grupper af 5-2-5 toner. Værkets P-0 og RI-5 ser således ud:
P-0 og RI-5 række.
P-0's første fem toner udgør i følgende nodeeksempel et ostinat, de sidste fem toner en melodisk overstemme og de to midterste toner en basstemme (takt 5-9). Da en sådan segmentering er et eksempel på en systematisk komposition med brudt teknik, behøver de tre grupper ikke at optræde i oprindelig rækkefølge. De to midterste toner (6 og 7) spilles eksempelvis først efter, at overstemmen har spillet den sidste femtonige gruppe. Bemærk i øvrigt, at P-0 og RI-5 deles op i kompositionen, så tonerne i P-0-ostinatet (tone 1-5) skifter valør i takt 9, hvorefter det repræsenterer toner i RI-5:
Segmentering

3. Partitionering
Ved partitionering forstås en systematisk inddeling af rækketonerne i grupper, der hver udgør en særlig rytmisk enhed, en prægnant rytmisk figur eller blot et orgelpunkt med fast varighed. Forskellen mellem segmentering og partitionering er, at partitionering forløber i faste rytmiske mønstre, mens segmentering blot er separate enheder, der kan optræde i forskellig rytme satsen igennem.

Ved partitionering kan grupperne eksempelvis udgøres af tone 1-2, 3-4-5, 6-8-9, 7, 10-11 og 12, og uanset hvilken rækkeform der gennemspilles, vil de angivne tonenumre forløbe i præcis samme rytme og udføre præcis samme funktion (frem til et eventuelt skift i satsen, hvor nye mønstre kan dannes). En sådan sats vil ofte være i brudt teknik, hvorfor grupperne sagtens kan forekomme forskubbet i forhold til den oprindelige rækkefølge.

Variations for Orchestra (Op. 31, 1926-28) byder på et rigt udvalg af eksempler på partitionering. Hver takt i begyndelsen af "Variation V"-satsen indeholder 12 forskellige toner, og der skiftes række fra takt til takt. Uanset hvilken række, der spilles, forekommer de forskellige tonegrupper (1 i kontrabas, 2-6 i basun, 7-8 i violin, 9-10 i trompet og 11-12 i fløjte) altid i samme rytme:
Partitionering

4. Multidimensionalitet
Når en dodekafon melodilinje udfylder to rækketekniske funktioner på samme tid, kan man sige, at den er multidimensional.

Et eksempel på multidimensionalitet finder man i nodeeksemplet herover (afsnit 3). Schönberg lader kontrabassen spille primær-rækken (P-0) med én tone per takt (i eksemplet b-e-fis-es-f). Da hver af disse bastoner danner afsæt for en selvstændig række, får tonerne rækketeknisk set to funktioner. Tonerne er i hver takt første tone i den række, som takten er opbygget af, samtidigt med at den samlede baslinie danner P-0. De række-transpositioner, hver takt er bygget over, er således styret af denne gennemgående P-0.

Et andet eksempel på multidimensionalitet findes i "Variation IV"-satsen, også fra Variations for Orchestra. Her spiller en stemme værkets P-0, hvori tonerne samtidigt er akkompagnement til og tilhørende P-5 og RI-11:
Multidimensionalitet